Y kx b за что отвечает k. Функция у = кх ее свойства и график

Тема урока : Функция y =к x 2 , ее свойства и график .

Цель урока : обобщить и систематизировать знаний о квадратичной функции, ее свойствах и графике

Образовательные задачи:

закрепить основные свойства квадратичной функции y =kx 2 и ее график с применением компьютерного моделирования, интерактивной доски.

решение математических задач несколькими методами и способами, выявляя достоинства и недостатки каждого из них.

Развивающие задачи

развитие коммуникативных способностей учащихся,

развитие интеллектуально-исследовательской культуры учащихся,

развитие навыков компьютерного моделирования и работы на интерактивной доске

Воспитательные задачи:

воспитывать уважение к мнению других людей

серьёзное и ответственное отношение к учебному труду.

Вид урока: урок презентация, практикум.

Методы обучения: беседа, объяснение, деловая игра, демонстрация, компьютерное моделирование, практическая работа.

Формы организации работы с учащимися: индивидуальная, фронтальная, парная (групповая).

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, интерактивная доска, обычная доска, миллиметровая бумага, раздаточный материал: разноуровневые задания, памятка с требованиями к выполнению практической работы.

Программное обеспечение: презентация, подготовленная в Microsoft PowerPoint ; Advanced Grapher 1.62 (Многофункциональная программа исследования математических функций с удобным графическим интерфейсом. Позволяет строить графики функций и их производных, находить экстремумы функций и корни уравнений, осуществлять интегрирование, получать таблицу значений функции по ее формуле и др., статус: freeware, авторские права: SerpikSoft, сайт: ); программное обеспечение интерактивной доски.

План урока.

1. Организационный момент – 1-2 мин.

2. Постановка целей и задач урока – 2 мин.

3. Оборудование – 1мин.

4. Повторение ранее изученного материала – 10 мин.

задания № 1

задания № 2

5. Практическая работа – 25 мин.

Задание № 3

Защита выполненного задания № 3

Задание № 4

Защита выполненного задания № 4

6. Домашнее задание – 2 мин.

7. Подведение итогов урока. Выставление оценок – 3 мин.

Ход урока

Демонстрируется слайд 1.

Этап I . Организационный момент.

Учитель приветствует ребят, отмечает отсутствующих, проверяет наличие чертежных инструментов, раздаточного материала: карточек-заданий, миллиметровой бумаги, памяток.

Постановка цели и задач урока

Демонстрируется слайд 2-5

Учитель. Сегодня мы подведем итог и проверим полученные знания и умения на практике, расширим и систематизируем знания о квадратичной функции y = kx 2 , как одной из математической модели. Продолжим освоение возможностей интерактивной доски, используя в работе компьютер, рассмотрим построении графиков квадратичной функций с его применением.

В реальной жизни встречаются процессы, описываемые различными математическими моделями вида y = f ( x ), г де f ( x ) - функция. В 7 классе мы познакомились с линейной функцией, в 8 классе начали знакомство с другой математической моделью, изучив f ( x ) – квадратичную функцию. Как вы научились отличать одну модель от другой, проверим в первом задании.

Этап II . Повторение.

Задание 1. Подпиши график функции.

Для каждого графика, изображенного на интерактивной доске, найти соответствующую ей функцию.

Демонстрируется слайд 6

На интерактивной доске учащиеся по цепочке, используя метод перемещения объектов (названия функций) из галереи рисунков, передвигают функции к соответствующему ей графику, при этом обосновывая свой выбор.

Остальные учащиеся в тетради и двое на обычной доске одновременно записывают функции в два столбика таблицы, указывая соответствующее значение k и b . Подводится итог работы. Ученики осуществляют взаимопроверку (на интерактивной и обычной доске, в тетрадях).

Классификация по виду математической модели

y = kx + b

y = kx 2

y = 3x + 2 ; k = 3 b = 2

y =3x 2 ; k = 3

y =2x ; k =2 b =0

y = - 3x 2 ; k =-3

y =2x ; k =2 b =0

y = x 2 ; k =1

прямая

парабола

Задание 2. Перечислить свойства квадратичной функции.

Демонстрируется слайд 7

Учитель. В математике важно отличать одну модель от другой, зная свойства каждой, уметь использовать различные языки (словесный, символический, графический) при описании этих свойств. При подготовке к уроку группа ребят систематизировала общие сведения о квадратичной функции в таблицу, используя символический язык. На интерактивной доске таблица свойств функций закрыта шторкой. Давайте вспомним, что нам известно о свойствах квадратичной функции.

После фронтально опроса по перечислению свойств квадратичной функции, используя прием шторки слева на направо, открывается первый столбик таблицы. Ребята сверяют по таблице, все ли свойства были названы. Затем перечисляются свойства функции в зависимости от коэффициента, в ходе беседы одновременно открываются строки таблицы – прием сдвига шторки вниз.

Заслушиваются ответы учащихся, подводится итог повторения свойств квадратичной функции. Учащиеся осуществляют самоконтроль.

Этап III . Применение знаний и умений

Практическая работа

Демонстрируется слайд 8

Задание № 3. «Построить и описать свойства кусочно-заданной функции

Учитель. Итак, теперь мы попробуем реализовать все знания на практике разными способами.

Сейчас вы разделитесь на три группы:

Группа № 1 «программисты » – строят график функции с помощью компьютера.

Группа № 2 «практики» – строят график функции без использования компьютера на миллиметровой бумаге.

Группа № 3 «теоретики» – описывают свойства данной функции.

Для ребят группы № 1 (посещающие факультатив по ИВТ), на интерактивной доске высвечивается алгоритм работы для компьютерного моделирования (Демонстрируется слайд 9), группа № 2 пользуется памяткой слайд 23, приложение № 2), группа № 3 имеет на столе уже готовый график данной функции, выполненный заранее учащимися на факультативе по ИВТ (слайд 14 ).

Задание для ребят группы № 2, со способностями ниже средних, разбито на подзадачи. Слабые учащиеся строят график только одной квадратичной функции, посильнее – квадратичную и линейную, продвинутые – выполняют все задание в комплексе.

Учитель проверяет задание у учащихся, выполнивших задание первыми в каждой группе. Далее по мере завершения практической работы учащиеся по цепочке проверяют задания друг у друга. Таким образом, у всех учащихся работы будут проверены. Те учащиеся, которые испытывают затруднения, обращаются за помощью к учителю либо к товарищам соседней пары.

Демонстрируется слайд 10-15

Защита выполненной работы

Каждая группа определяет лидера, ответственного для защиты работы. Учащиеся анализируют этапы построения и описания свойств функции. Учащиеся группы № 2 осуществляют самоконтроль, сопоставляя свой график с графиком на интерактивной доске, построенный с помощью компьютерного моделирования учащимися группы № 1. Учащиеся группы № 3 по цепочке комментируют свойства функции, график которой представлен на доске.

Во время защиты учитель задает вопросы, которые помогают выявить достоинства и недостатки каждого способа построения графика функции:

В чем преимущество данного способа построения графика функции?

Какие недостатки этого способа вы можете назвать?

Защита работы, выполненной с помощью компьютера

Демонстрируется слайд 16

Достоинства способа:

Наглядность, быстрота работы, точность построения, простота реализации, возможность автоматизации проверки результата; создается график не только на бумаге, но и в электронном виде.

Недостатки способа:

Не совершенствуются вычислительные навыки, отсутствует связь с теорией, наличие технических средств и программного обеспечения.

Демонстрируется слайд 17

Защита работы, выполненной без помощи компьютера

Достоинства способа:

Независимость от вычислительной техники при использовании; развитие вычислительных навыков, связь с теорией.

Недостатки способа:

Длительность работы по времени, нет точности в построении, невозможность автоматизации проверки результата; создается график только на бумаге.

Задание № 4 «Решить уравнение x 2 = 4 x - 4»

Демонстрируется слайд 18

Учитель. Предлагается вашему вниманию решить уравнение двумя методами: графический и аналитический

1. Графический метод – двумя способами (компьютерное моделирование и без помощи компьютера).

2. Метод – аналитический.

Анализируя этапы графического решения уравнения, учащиеся формулируют алгоритм выполнения задания. Демонстрируется слайд 19

При аналитическом методе решения необходимо вспомнить формулу квадрата разности двух выражений.

Графический метод решения можно представить двумя способами с помощью компьютерного моделирования и традиционно.

Задание выполняется учащимися групп № 1-3 по той же схеме, как и при выполнении практической работы задания № 3. Учащиеся выполняют задание и сверяют результат.

Защита выполненной работы.

Группа ребят, работающая у компьютера, демонстрируют результат работы с помощью мультимедийного проектора на интерактивной доске, указывая точку пересечения графиков функции и подписывая ее координаты. Группа учащихся № 3 – «теоретики», решение выносят на обычную доску. Группа учащихся № 3 – «практики», сверяют результат с интерактивной доской.

Демонстрируется слайд 20

Учитель дает задание сопоставить результаты. Определить на свой взгляд более эффективный метод.

Этап IV . Домашнее задание.

Демонстрируется слайд 21

Учитель. В классе вы работали в группах, в парах, выполняя вместе одно задание. Дома вам предстоит выполнить практическую работу с учетом ваших способностей. Задание дифференцировано по уровням сложности (слайд 22 -приложение 2, слайд 23 ). На доске демонстрируется слайд с предписанием выполнения работы.

Этап V . Подведение итогов урока. Выставление оценок.

Демонстрируется слайд 24

Сегодня мы обобщили и систематизировали знания по теме «Функция y =x 2 , ее свойства и график» с применением компьютерного моделирования, интерактивной доски, рассмотрели решение математической задачи несколькими способами, выяснили достоинства и недостатки каждого способа. Для вас более универсальным оказался способ – применение математического моделирования. Однако выбор конкретного способа зависит еще и от тех целей, которые мы ставим, решая ту или иную задачу. Разные математические задачи дают нам возможность применять различные приемы, методы и способы для конкретных практических задач. И вы вправе выбирать те из них, которые будут более подходящими в заданных условиях. На следующем уроке переходим к знакомству с новой математической моделью, пополняя запас изучаемых функций. Все знания и умения, полученные при построении графиков функций двумя способами, помогут вам в дальнейшей работе. Спасибо всем за работу.

Литература

Журнал «Математика в школе», № 10, 2008 г

Журнал «Информатика и образование», № 10, 2008 г.

А.Г.Мордкович. Алгебра 8 класс. Часть 1. Учебник. М.: Мнемозина, 2005 г.

А.Г.Мордкович. Алгебра 8 класс. Часть 2. Задачник. М.: Мнемозина, 2005 г.

Л.А.Александрова. Алгебра 8 класс. Самостоятельные работы / под ред. А.Г.Мордкович. М.: Мнемозина, 2006 г.

А.Г.Мордкович. Алгебра 7-9. Методическое пособие для учителя. М.: Мнемозина, 2000 г.

Приложение 1

Памятка

1. Как построить график функции.

Составить таблицу значений.

Построить точки на координатной плоскости.

Соединить точки плавной линией.

Подписать график функции.

2. Как найти значение функции f (x ) по графику.

На оси абсцисс найти соответствующее значение переменной.

Провести перпендикуляр на график функции, зафиксировать на нем точку.

Из данной точки провести перпендикуляр на ось ординат.

Точка пересечения с осью у – и есть значение функции f ( x ).

3. Как проверить принадлежность точки графику функции.

Найти значение функции от абсциссы точки.

Сопоставить результат с ординатой точки.

Если значения совпадают – точка принадлежит графику функции.

Приложение 2

Практическая работа

Вариант А

1. Построить график функции у = 2 х 2

а) значение у при х = -1; 2; 1/2

б) значение х , если у = -8

в) y наиб. и y наим. на отрезке [-1; 2]

3. Принадлежит ли графику функции точка А (-5; 50)?

Вариант В

1. Построить график функции у = - 0,5 х 2

2. Для данной функции найдите:

а) значение у при х = -2; 0; 3

б) значение х если у = - 8

в) y наиб. и y наим. на отрезке [- 4; 0]

3. Принадлежит ли графику функции точка А (-10; - 50)

Вариант С

1. Построить график функции у = 3/2 х 2

2. Для данной функции найдите:

а) значение у при х = 2; 1; 2/ 3

б) значение х если у = 6

в) y наиб. и y наим. на отрезке [- 2; 1]

3. Принадлежит ли графику функции точка А (-8;- 96)?

Урок алгебры в 7 классе по учебнику Мордковича Александра Григорьевича.

Линейная функция y=kx и ее график.

Цели:

Обобщить и углубить знания по теме «Линейная функция y = kx +m и ее график» Рассмотреть свойства графиков линейных функций y = kx с различными коэффициентами k .

Способствовать развитию наблюдательности, умению анализировать, сравнивать, обобщать.

Вызывать у обучающихся потребность в обосновании своих высказываний, воспитывать самоконтроль и взаимоконтроль.

Ход урока:

Организационный момент.

Вступительное слово учителя.

Вы уже изучили линейную функцию y =kx +m и научились строить графики этой функции, а сейчас, рассмотрите, пожалуйста, графики следующих функций и ответьте на вопросы:

СЛАЙД 2

На координатной плоскости построены графики линейных функций:

y =x ,

y =0,5x ;

y =-x ;

y =-4x

Будут ли эти функции линейными? Почему? Что общего в этих четырех рассмотренных функциях? Чем они отличаются от ранее изученных линейных функций?

СЛАЙД 3

Графики данных линейных функций.

СЛАЙД 4 (вопросы к слайду 3)

Ответы:

Графики данных линейных функций находятся либо в 1 и 3 четвертях, либо во 2 и 4 четвертях.

Какая связь между коэффициентом k и расположением графика на координатной плоскости?

СЛАЙД 5(ответы на вопросы к слайду 4)

Все графики данных линейных функций проходят через начало координат О(0;0)

СЛАЙД 6

Если коэффициент k <0, то линейная функция убывает и расположена во 2 и 4 четвертях.

СЛАЙД 7

Если коэффициент k >0, то линейная функция возрастает и расположена в первой и третьей четвертях.

СЛАЙД 8

А сейчас выполните следующие задачи в учебнике № 348(а, б), 355:

Задача № 348(а; б).
Постройте график линейной функции:
а) y =2x ,
б) y =-3x .
На одной координатной плоскости.
Что вы можете сказать про графики данных линейных функций?

(Они проходят через начало координат, линейная функция y=2x – возрастающая и расположена в 1 и 3 четвертях, а линейная функция y=-3x –убывающая и расположена во 2 и 4 четвертях).

СЛАЙД 9

Решение (нахождение координат точек данных линейных функций). Какое количество координат точек необходимо для построения графика заданных линейных функций? Почему? (Одну, потому что графики данных линейных проходят через начало координат, то есть точку с координатой (0;0), а она нам уже известна.)

СЛАЙД10

Если вы правильно выполнили задание, то у вас должен получиться такой график.

СЛАЙД11

График линейной функции y = -3x строим аналогичным образом

Что вы можете сказать про данную функцию? В каких четвертях будет находиться график данной линейной функции?

Если берем значение абсциссы положительное, то ордината получается отрицательная, и, наоборот, если, значение абсциссы отрицательная, то ордината получается положительная.

СЛАЙД12

Если вы правильно выполнили задание, то у вас должен получиться такой график данной линейной функции y=-3x.

СЛАЙД13

(Формулирование задачи № 355)

СЛАЙД14

(Вопросы, активирующие решение поставленной задачи).

СЛАЙД15

Нахождение координат точек для построения графика данной линейной функции y=0,4x .

СЛАЙД16

По графику данной линейной функции находим значение ординаты, соответствующее значению абсциссы, равному 0; 5; 10; -5.

Если x =0,то y =0

Если x =5, то y =2

Если x =10, то y =4

Если x =-5,то y =-2

СЛАЙД17

По графику данной линейной функции находим значение x , соответствующее значению y , равному 0; 2; 4; -2.

Если y =0, то x =0

Если y =2, то x =5

Если y =4,то x =10

Если y =-2, то x =-5

СЛАЙД18

Решение неравенства: 0,4x >0 . Что нам необходимо знать, чтобы решить это неравенство? Найти при каких значениях абсциссы (x) график данной линейной функции будет находиться выше оси ox.

СЛАЙД19

Теперь, с помощью графика данной линейной функции решим неравенство: -2≤y ≤0 .

Давайте подумаем, как решить данное неравенство?

1.Отметим на оси oy точки y =-2 и y =0.

2. Получим отрезок прямой, который лежит в пределах значений -2≤y ≤0:

Из ординаты равной -2 и ординаты равной 0 опустим перпендикуляр к графику данной линейной функции.

3. Из концов отрезка графика прямой, опустим перпендикуляры на ось ox.

4. Получили значения абсциссы, в пределах которых лежит график данной прямой: -5≤x ≤0. Этот промежуток и будет являться решением данного задания.

СЛАЙД 20

Домашнее задание – самостоятельное выполнение № 356.

Линейная функция y = kx + m , когда m = 0 принимает вид y = kx . В таком случае можно заметить, что:

1. Если x = 0, то и y = 0. Следовательно, график линейной функции y = kx проходит через начало координат не зависимо от значения k .
2. Если x = 1, то y = k .

Рассмотрим различные значения k , и как от этого меняется y .

Если k положительно (k > 0), то прямая (график функции), проходя через начало координат, будет лежать в I и III координатных четвертях. Ведь при положительном k , когда x положителен, то y также будет положителен. А когда x отрицателен, y также будет отрицательным. Например, для функции y = 2x , если x = 0.5, то y = 1; если же x = –0.5, то y = –1.

Теперь при условии положительного k рассмотрим три разных линейных уравнения. Пусть это будут: y = 0.5x и y = 2x и y = 3x . Как меняется значение y при одном и том же x ? Очевидно оно возрастает вместе с k : чем больше k , тем больше y . А это значит, прямая (график функции) при большем значении k будет иметь больший угол между осью x (осью абсцисс) и графиком функции. Таким образом от k зависит, под каким углом пересекает прямая ось x , и отсюда о k говорят как об угловом коэффициенте линейной функции .

Теперь изучим ситуацию, когда k x положителен, то y будет отрицателен; и наоборот: если x y > 0. Таким образом график функции y = kx при при k

Допустим, имеются линейные уравнения y = –0.5x, y = –2x, y = –3x . При x = 1 получим y = –0.5, y = –2, y = –3. При x = 2 получим y = –1, y = –2, y = –6. Таким образом, чем больше k, тем больше y, если x положительно.

Однако если x = –1, то y = 0.5, y = 2, y = 3. При x = –2 получим y = 1, y = 4, y = 6. Тут с уменьшением значения k возрастает y при x

График функции при k

Графики функций типа y = kx + m отличаются от графиков y = km лишь параллельным смещением.

Линейная функция – это функция вида

x-аргумент (независимая переменная),

y- функция (зависимая переменная),

k и b- некоторые постоянные числа

Графиком линейной функции является прямая .

Для построения графика достаточно двух точек, т.к. через две точки можно провести прямую и притом только одну.

Если k˃0, то график расположен в 1-й и 3-й координатных четвертях. Если k˂0, то график расположен в 2-й и 4-й координатных четвертях.

Число k называют угловым коэффициентом прямой графика функции y(x)=kx+b. Если k˃0, то угол наклона прямой y(x)= kx+b к положительному направлению Ох - острый; если k˂0, то этот угол- тупой.

Коэффициент b показывает точку пересечения графика с осью ОУ (0; b).

y(x)=k∙x-- частный случай типичной функции носит название прямая пропорциональность. Графиком является прямая, проходящая через начало координат, поэтому для построения этого графика достаточно одной точки.

График линейной функции

Где коэффициент k = 3, следовательно

График функции будет возрастать и иметь острый угол с осью Ох т.к. коэффициент k имеет знак плюс.

ООФ линейной функции

ОЗФ линейной функции

Кроме случая, где

Так же линейная функция вида

Является функцией общего вида.

Б) Если k=0; b≠0,

В этом случае графиком является прямая параллельная оси Ох и проходящая через точку (0;b).

В) Если k≠0; b≠0, то линейная функция имеет вид y(x)=k∙x+b.

Пример 1 . Построить график функции y(x)= -2x+5

Пример 2 . Найдём нули функции у=3х+1, у=0;

– нули функции.

Ответ: или (;0)

Пример 3 . Определить значение функции y=-x+3 для x=1 и x=-1

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

Ответ: y_1=2; y_2=4.

Пример 4 . Определить координаты их точки пересечения или доказать, что графики не пересекаются. Пусть даны функции y 1 =10∙x-8 и y 2 =-3∙x+5.

Если графики функций пересекаются, то значение функций в этой точке равны

Подставим х=1, то y 1 (1)=10∙1-8=2.

Замечание. Подставить полученное значение аргумента можно и в функцию y 2 =-3∙x+5, тогда получим тот же самый ответ y 2 (1)=-3∙1+5=2.

y=2- ордината точки пересечения.

(1;2)- точка пересечения графиков функций у=10х-8 и у=-3х+5.

Ответ: (1;2)

Пример 5 .

Построить графики функций y 1 (x)= x+3 и y 2 (x)= x-1.

Можно заметить, что коэффициент k=1 для обеих функций.

Из выше сказанного следует, что если коэффициенты линейной функции равны, то их графики в системе координат расположены параллельно.

Пример 6 .

Построим два графика функции.

Первый график имеет формулу

Второй график имеет формулу

В данном случае перед нами график двух прямых, пересекающихся в точке (0;4). Это значит, что коэффициент b, отвечающий за высоту подъёма графика над осью Ох, если х=0. Значит мы может полагать, что коэффициент bу обоих графиков равен 4.

Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

Линейная функция

Линейная функция – это функция, которую можно задать формулой y = kx + b,

где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа.

Графиком линейной функции является прямая.

Число k называют угловым коэффициентом прямой – графика функции y = kx + b.

Если k > 0, то угол наклона прямой y = kx + b к оси х острый; если k < 0, то этот угол тупой.

Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками двух линейных функций, различны, то эти прямые пересекаются. А если угловые коэффициенты одинаковы, то прямые параллельны.

График функции y = kx + b , где k ≠ 0, есть прямая, параллельная прямой y = kx.

Прямая пропорциональность.

Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой y = kx, где х – независимая переменная, k – не равное нулю число. Число k называют коэффициентом прямой пропорциональности .

График прямой пропорциональности представляет собой прямую, проходящую через начало координат (см.рисунок).

Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции.

Свойства функции y = kx:

Обратная пропорциональность

Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой:

k
y = -
x

где x – независимая переменная, а k – не равное нулю число.

Графиком обратной пропорциональности является кривая, которую называют гиперболой (см.рисунок).

Для кривой, которая является графиком этой функции, оси x и y выступают в роли асимптот. Асимптота – это прямая, к которой приближаются точки кривой по мере их удаления в бесконечность.

k
Свойства функции y = - :
x